문제9> x(x+1)(x+2)(x+3)-3=0

-> 이런 형태는 인수정리하기가 어렵다. 따라서 치환하여 푼다!

전개를  {x(x+3)} {(x+1)(x+2)} 이런식으로 모아서 일단 한다. 이렇게 해야 공통 부분이 생기기 때문.

전개하면,

(x²+3x)(x²+3x+2)-3=0

이 되고, 여기서 공통 부분을 치환한다. 즉, x²+3x = X

그러면 방정식은 이차방정식 형태로 바뀌고 그 다음부터 쭉 풀이~

* 삼차방정식의 근과 계수의 관계

ax³+bx²+cx+d=0 의 세 실근을 α, β, γ 라고 하면

a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 과 같이 쓸 수 있다.

여기서 근과 계수의 관계

-> α+β+γ=-b/a

αβ+βγ+γα=c/a

αβγ=-d/a

*x²+x+1=0 의 한 허근 ω -> 수1의 행렬과 연결

① ω²+ω+1=0

② (ω-1)(ω²+ω+1)=0 ∴ ω³-1=0

※ ω가 허근이라는 것에 주의하며 문제를 풀어야 한다. 실근 조건에 ω를 대입해서는 안됨.

(예) A=(  1     1)

          (-3  -2)

A³-3A²+A-4E=?

케일리-해밀턴 정리를 이용하여 식을 만들면,

A²+A+E=0 (-> ω²+ω+1=0 이와 비슷한 형태가 된다.)

단위행렬과는 교환법칙이 성립하기 때문에 다음과 같은 변형이 가능하다.

(A-E)(A²+A+E)=0 , A³=E 라는 식을 유도해낼 수 있다.

이를 위의 문제의 식에 대입하면 식을 간단히 할 수 있다.

A²=-A-E 를 대입하면 된다.

문제11> x³-2x+1=0 의 세근 α, β, γ, (1/αβ)+(1/βγ)+(1/αγ) 의 값은?

-> 통분한 다음 근과 계수의 관계를 이용하여 풀면 된다.

※ 방정식의 근의 성질

계수가 실수인 f(x)=0의 근이 a+bi(b≠0)이면, -> a-bi도 근이다.

즉, 켤레수는 반드시 동시에 방정식의 근이 된다. 허수가 아닌 1+√3 과 같은 수도 마찬가지.

이는 방정식의 계수가 실수이면 어떤 방정식에서도 성립한다!

문제13> x³+1=0의 허근 ω, ω¹⁰⁰ + ω⁵⁰+1의 값은?

ω³=-1, (ω+1)(ω²-ω+1)=0 - ①

ω¹⁰⁰=(ω³)³³·ω=-ω

ω⁵⁰=(ω³)¹⁶·ω²= ω²

ω¹⁰⁰ + ω⁵⁰+1 = -ω+ω²+1 = 0

위의 ①식에서 ω+1=0 이어서는 안 된다. 왜냐하면 ω는 허근이기 때문에 실수가 되면 안되기 때문이다. 따라서 ω²-ω+1=0이 되어야 하므로 답이 0이 된다.

(-> ω가 허수라는 것을 주의해야 하는 문제!)

* 연립방정식 : (식의 개수) = (문자의 개수)

(문자의 개수가 더 많아지면 부정방정식)

연립방정식은 문자를 차례로 소거하여 푼다.

->연립방정식의 종류

- 이원일차

 - 이원이차 - 일차식, 이차식(-> 이차곡선과 직선의 교점 문제로 연결)

               - 이차식, 이차식(-> 잘 안 나오는 편)

문제14> x+y=3                 -> y=3-x를 아래 식에 대입

           x²-3xy+y²=-1

y를 대입하여 x에 관한 방정식을 푼 다음 다시 y식에 대입하여 y값 찾기

문제15> x+y=5

        Xy=6

-> 대칭형 연립방정식 : x, y 자리를 바꾸어도 식이 같은 형태

위의 14번 문제도 대칭형 연립방정식이다.

대칭형 방정식의 근의 특징은 근도 서로 바꿔서 쓸 수 있다는 것이다.

이 문제의 경우 x=2, y=3 이라는 근을 구할 수 있는데 두 근을 바꿔서 쓴 x=3, y=2 도 이 방정식의 근이 된다. 14번 문제도 마찬가지.

그리고 이 15번 문제는 어떤 이차방정식의 두 근의 합과 곱이 주어진 것으로 볼 수도 있어서

t²-5t+6=0 과 같이 근과 계수의 관계를 거꾸로 사용하여 풀 수도 있다.

대칭형 연립방정식은 행렬 문제에 많이 활용된다. 16번 문제가 그 예이다.

문제16> A+B=O, AB=E, A¹⁰⁰+B⁵⁹ 를 간단히 하면?

위의 식으로부터 B=-A 임을 알 수 있고 이를 AB=E에 대입하면

A²=-E=B² 임을 알 수 있다.

따라서 A¹⁰⁰=(A²)⁵⁰=E

       B⁵⁹=-B

답은 E-B